设f(x)在[a,b]上可微,x∈[a,b],a<f(x)<b,且f′(x)≠1,x∈(a,b).试证:在(a,b)内方程f(x)=x有唯一实根.

admin2019-12-26  33

问题 设f(x)在[a,b]上可微,x∈[a,b],a<f(x)<b,且f′(x)≠1,x∈(a,b).试证:在(a,b)内方程f(x)=x有唯一实根.

选项

答案存在性.令F(x)=f(x)-x,显然F(x)在[a,b]上连续,又F(a)=f(a)-a>0,F(b)=f(b)-b<0,则由零点定理可知,至少存在一点ξ∈(a,b),使F(ξ)=0,即f(ξ)=ξ. 用反证法证唯一性.设存在η∈(a,b),η≠ξ,使F(η)=0,则由罗尔定理可知,在η与ξ之间存在一点c,使F′(c)=f′(c)-1=0,即f′(c)=1,这与f′(x)≠1,x∈(a,b)矛盾.

解析
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