2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可微，x∈[a，b]，a＜f(x)＜b，且f′(x)≠1，x∈(a，b)．试证：在(a，b)内方程f(x)=x有唯一实根．

设f(x)在[a，b]上可微，x∈[a，b]，a＜f(x)＜b，且f′(x)≠1，x∈(a，b)．试证：在(a，b)内方程f(x)=x有唯一实根．

admin2019-12-26  40
问题 设f(x)在[a，b]上可微，x∈[a，b]，a＜f(x)＜b，且f′(x)≠1，x∈(a，b)．试证：在(a，b)内方程f(x)=x有唯一实根．
选项
答案存在性．令F(x)=f(x)－x，显然F(x)在[a，b]上连续，又F(a)=f(a)－a＞0，F(b)=f(b)－b＜0，则由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ. 用反证法证唯一性．设存在η∈(a，b)，η≠ξ，使F(η)=0，则由罗尔定理可知，在η与ξ之间存在一点c，使F′(c)=f′(c)－1=0，即f′(c)=1，这与f′(x)≠1，x∈(a，b)矛盾．
解析
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考研数学三

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