设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．

admin2018-05-25 79

问题设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．

选项

答案首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η₁不是方程组BX=0的解，即Bη₀≠0，显然ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r，η₀线性无关，若ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r，η₀线性相关，则存在不全为零的常数k₁，k₂，…，k_n－r，k₀，使得k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r，k₀η₀=0，若k₀=0，则k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r，=0，因为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n－r=0，从而ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r，η₀线性无关，所以k₀≠0，故η₀可由ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη₀=0，矛盾，所以ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r，η₀线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n－r(AB)≥n=r+1，r(AB)≤r－1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．

解析

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考研数学三

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