2. 考研
  3. 设二二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵

设二二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵

admin2022-10-09  52
问题 设二二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。
    (Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
    (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值。
选项
答案[*] 得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=7，λ3=一2。 对λ=7，解齐次方程组(7E一A)x=0得基础解系 α1=(1，一2，0)T，α2=(1，0，一1)T。 对λ=一2，解齐次方程组(一2E一A)x=0得基础解系α3=(2，1，2)T。 因为α1，α2不正交，故需施密特(Schmidt)正交化，有 [*] (Ⅱ)因为矩阵A的特征值为7，7，一2。所以|A|=一98，那么A*的特征值为一14，—14，49。从而A*+kE的特征值为k一14，k一14，k+49。因此，k＞14时，A*+kE正定。
解析
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考研数学二

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