设二二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵

admin2022-10-09 56

问题设二二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=3x₁²+ax₂²+3x₃²一4x₁x₂—8x₁x₃—4x₂x₃，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。
(Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)如果A^*+kE是正定矩阵，求k的取值。

选项

答案[*] 得到矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=7，λ₃=一2。对λ=7，解齐次方程组(7E一A)x=0得基础解系 α₁=(1，一2，0)^T，α₂=(1，0，一1)^T。对λ=一2，解齐次方程组(一2E一A)x=0得基础解系α₃=(2，1，2)^T。因为α₁，α₂不正交，故需施密特(Schmidt)正交化，有 [*] (Ⅱ)因为矩阵A的特征值为7，7，一2。所以|A|=一98，那么A^*的特征值为一14，—14，49。从而A^*+kE的特征值为k一14，k一14，k+49。因此，k＞14时，A^*+kE正定。

解析

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考研数学二

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设二二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵

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