设二二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵

admin2022-10-09 74

问题设二二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=3x₁²+ax₂²+3x₃²一4x₁x₂—8x₁x₃—4x₂x₃，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。
(Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)如果A^*+kE是正定矩阵，求k的取值。

选项

答案[*] 得到矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=7，λ₃=一2。对λ=7，解齐次方程组(7E一A)x=0得基础解系 α₁=(1，一2，0)^T，α₂=(1，0，一1)^T。对λ=一2，解齐次方程组(一2E一A)x=0得基础解系α₃=(2，1，2)^T。因为α₁，α₂不正交，故需施密特(Schmidt)正交化，有 [*] (Ⅱ)因为矩阵A的特征值为7，7，一2。所以|A|=一98，那么A^*的特征值为一14，—14，49。从而A^*+kE的特征值为k一14，k一14，k+49。因此，k＞14时，A^*+kE正定。

解析

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考研数学二

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设二二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵

考研数学二

已知r(α1，α2，…，αs)＝r(α1，α2，…，αs，β)＝r，r(α1，α2，…，αs，γ)＝γ＋1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)＝_______．

已知A=，A是A的伴随矩阵，那么A的特征值是_________。

设B=则Bn=________．

已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，一1)T，α3=(一1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(一1，1)T，Aα3=(3，一4)T，则A=______。

设无界区域G位于曲线(e≤x＜+∞)下方，x轴上方，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______。

矩阵的非零特征值为_________。

设f(x)在点x=0某一邻域内具有二阶连续导数，且绝对收敛．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤C．

设u=f(x，y，z)具有连续的一阶偏导数，又y=y(x)，z=z(x)分别由exy一xy=2和所确定，求

设a1=1，an+1+=0，证明：数列{an}收敛，并求

如何定取佟某的运动区：治疗佟某时，以下操作方法中错误的一项是：

佝偻病患儿早期的临床表现主要是

A、神曲B、麦芽C、莱菔子D、山楂E、鸡内金既能消食，又能消石的药物是（）

患儿，男，2岁，头疼。CT轴位平扫示：双侧额顶部颅骨内板下方半月形脑脊液密度影，脑实质受压，中线结构居中。最可能的诊断为()。

流动比率较高，()。

企业的会计要素中，通常收入减去费用，即等于利润。()

《东周列国志》记载，荆轲在宴中看到捧酒的美人“双手如玉”，啧啧赞道“美哉手也!”太子便令断美人手送荆轲“欣赏”。而“从人身上割下来的手，已不再是原来意义上的手。"这主要说明了()

(12年)已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex．(I)求f(x)的表达式；(Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点．

OxfordUniversityoncefamouslyclaimedtohavebeenfoundedbyAlfredtheGreatinthe9thCentury.Butinfact,theUniversity

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