设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32,其中x=(x1,x2,x3)T和y=(y1,y2,y3)T都是3维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数α,β.

admin2020-03-16  90

问题 设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32,其中x=(x1,x2,x3)T和y=(y1,y2,y3)T都是3维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数α,β.

选项

答案二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为[*]因为P为正交矩阵,所以[*] 即A与B相似,故A与B有相同的特征值λ1=0,λ2=1,λ3=2,这些特征值满足|λE一A|=0. 当λ1=0,则[*]由式(1)和(2),可求得α=β=0.

解析 本题主要考查二次型在正交变换下的不变量.令二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为A,由标准形f=y22+2y32,知A的特征值为0,1,2,代入A的特征方程,求得α,β.
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