设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．

admin2020-03-16 129

问题设二次型f=x₁²+x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2βx₂x₃+2x₁x₃经正交变换x=Py化成产f=y₂²+2y₃²，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T和y=(y₁，y₂，y₃)^T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为[*]因为P为正交矩阵，所以[*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ₁=0，λ₂=1，λ₃=2，这些特征值满足｜λE一A｜=0．当λ₁=0，则[*]由式(1)和(2)，可求得α=β=0．

解析本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A，由标准形f=y₂²+2y₃²，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．

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考研数学二

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设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．

考研数学二

[*]

[2006年]设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=f()满足等式=0.①验证f″(u)+f′(u)／u=0；②

设A=E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

[2011年]一容器的内侧是由图1．3．5．14中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成．若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为g

计算定积分

设A=E一ξξT，ξ是非零列向量，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1；(2)当ξTξ=1时，A不可逆．

已知A，B为三阶非零矩阵，且。β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。求a，b的值；

设α1，α2，…，αn为n个n维列向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是

将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：I＝(r，θ)dr，其中F(r，θ)＝fFcosθ，rsinθ)r．

求下列极限：

在冰雪道路上行车时，车辆的稳定性降低，加速过急时车轮极易空转或溜滑。

实行分权的主要手段是()

体外循环手术病人术前应当停用的药物包括

血府逐瘀汤的组成中含有补阳还五汤的组成中含有

48岁妇女，绝经1年，阴道少许接触出血，查：子宫颈中度糜烂，宫体稍小，子宫颈刮片检查2次均阳性，阴道镜下宫颈活检阳性，应选择哪种方法排除子宫颈癌

某高速公路由于业主高架桥修改设计，工程师下令承包商停工1个月。就此，-承包商提出索赔。按照国际惯例，索赔能够成立的包括(　　)。

光在不同的介质中传播速度不同，在()中传播最快。

2009年1月6日，中国海军护航舰艇编队顺利抵达亚丁湾海域执行护航任务。亚丁湾位于()

设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．

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[*]

[2006年]设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=f()满足等式=0.①验证f″(u)+f′(u)／u=0；②

设A=E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

[2011年]一容器的内侧是由图1．3．5．14中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成．若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为g

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设A=E一ξξT，ξ是非零列向量，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1；(2)当ξTξ=1时，A不可逆．

已知A，B为三阶非零矩阵，且。β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。求a，b的值；

设α1，α2，…，αn为n个n维列向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是

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48岁妇女，绝经1年，阴道少许接触出血，查：子宫颈中度糜烂，宫体稍小，子宫颈刮片检查2次均阳性，阴道镜下宫颈活检阳性，应选择哪种方法排除子宫颈癌

某高速公路由于业主高架桥修改设计，工程师下令承包商停工1个月。就此，-承包商提出索赔。按照国际惯例，索赔能够成立的包括( )。

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