2. 考研
  3. 设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2-n(n-1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。 (Ⅰ)证明S’’(x)-S(x)=0; (Ⅱ)求S(x)的表达式。

设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2-n(n-1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。 (Ⅰ)证明S’’(x)-S(x)=0; (Ⅱ)求S(x)的表达式。

admin2017-01-14  59
问题 设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2-n(n-1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。
(Ⅰ)证明S’’(x)-S(x)=0;
(Ⅱ)求S(x)的表达式。
选项
答案(Ⅰ)证明：由题意得 [*] 因为由已知条件得an=(n+1)(n+2)an+2(n=0，1，2，…)，所以S’’(x)=S(x)，即 S’’(x)-S(x)=0。 (Ⅱ)S’’(x)-S(x)=0为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为λ2-1=0，从而λ=±1，于是 S(x)=C1e-x+C2ex， 由S(0)=a0=3，S’(0)=a1=1，得 [*] 解得C1=1，C2=2， 所以S(x)=e-x+2ex。
解析
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考研数学一

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