求方程karctanx一x=0不同实根的个数，其中k为参数．

admin2016-06-27 77

问题求方程karctanx一x=0不同实根的个数，其中k为参数．

选项

答案令f(x)=k arctanx一x,则f(0)=0，且 [*] 当k＜1时，f’(x)＜0,f(x)在(一∞，+∞)单调递减，故此时f(x)的图像与x轴只有一个交点，也即方程k arctanx一x=0只有一个实根．当k=1时，在(一∞，0)和(0，+∞)上都有f’(x)＜0，所以f(x)在(一∞，0)和(0，+∞)是严格的单调递减，又f(0)=0，故f(x)的图像在(一∞，0)和(0，+∞)与x轴均无交点． [*] 综上所述，k≤1时，方程karctan x一x=0只有一个实根；k＞1时，方程karctanx一x=0有两个实根．

解析

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