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  3. [2014年] 设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值．

[2014年] 设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值．

admin2021-01-15  39
问题 [2014年]  设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值．
选项
答案在所给方程两边分别对x求导数，得到 3y2y’+y2+2xyy’+2xy+x2y’=0，即[*] 令y’=0，得到y=0，y=-2x，显然y=0不满足原方程．将y=-2x代入原方程得到 y3+xy2+x2y+6=一6x3+6=0． 解得x0=1．因而由y=一2x有y(1)=一2，y’(1)=0． 在式①两边再对x求导，得到 6yy’2+3y2y’’+4yy’+2xy’2+2xyy’’+2y+4xy’+x2y’’=0． ② 将x=1，y(1)=一2，y’(1)=0代入式②得[*]，故函数y=f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为y(1)=一2．
解析
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考研数学一

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