[2014年] 设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值．

admin2021-01-15 49

问题 [2014年] 设函数y=f(x)由方程y³+xy²+x²y+6=0确定，求f(x)的极值．

选项

答案在所给方程两边分别对x求导数，得到 3y²y’+y²+2xyy’+2xy+x²y’=0，即[*] 令y’=0，得到y=0，y=-2x，显然y=0不满足原方程．将y=-2x代入原方程得到 y³+xy²+x²y+6=一6x³+6=0．解得x₀=1．因而由y=一2x有y(1)=一2，y’(1)=0．在式①两边再对x求导，得到 6yy’²+3y²y’’+4yy’+2xy’²+2xyy’’+2y+4xy’+x²y’’=0． ② 将x=1，y(1)=一2，y’(1)=0代入式②得[*]，故函数y=f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为y(1)=一2．

解析

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