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  3. 设总体X服从证态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为的数学期望E(Y)。

设总体X服从证态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为的数学期望E(Y)。

admin2018-04-11  36
问题 设总体X服从证态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为的数学期望E(Y)。
选项
答案[*] 因为样本方差S2=[*]是总体方差的无偏估计，则E(S2)=σ2，即 [*] 由于X1，X2，…，X2n(n≥2)相互独立同分布，则Xi与[*]也独立(i=1，2，…，n)。而由独立随机变量期望的性质(若随机变量X，Y独立，且E(X)，E(Y)都存在，则E(XY)= E(X)E(Y))，所以 E(XiXn+i) = E(Xi)E(Xn+i) =μ2，E(Xi[*])=E(Xi)E[*]=μ2 [*] 故有 [*] =[*](μ2一μ2—μ2+μ2)=0， 即[*] =(n—1)σ2+(n—1)σ2=2(n —1)σ2。 令Yi=Xi+Xn+i，则Y1，Y2，…，Yn是来自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本。 则Y=[*](Xi+Xn+i—[*]是Y1，Y2，…，Yn的样本均值。 由此可知S2=[*]是该样本的样本方差。由于样本方差的期望等于总体的方差，可知[*]=2σ2，从而 E(Y)=2(n—1)σ2。
解析
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