2. 考研
  3. 以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx= ③

以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx= ③

admin2015-12-03  59
问题 以下四个命题，正确的个数为(     )
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=
③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，则∫-∞+∞f(x)dx+g(x)]dx未必发散；
④若∫-∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫-∞+∞f(x)dx未必发散。
选项 A、C1y1+(C2一C1)y2+(C1一C2)y3。
B、C1y1+(C2一C1)y2+(1一C2)y3。
C、(C1+C2)y1+(C2一C1)y2+(C1—C2))y3。
D、(C1+C2)y1+(C2一C1)y2+(1一C2)y3。
答案A
解析 ∫-∞+∞f(x，y)dx收敛存在常数a，使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛，此时
∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx。
设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且

但是
∫-∞0f(x)=∫-∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，
故∫-∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题。
设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，但∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故选A。
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