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以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx= ③
以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx= ③
admin
2015-12-03
38
问题
以下四个命题，正确的个数为( )
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫
-∞
+∞
f(x)dx必收敛，且∫
-∞
+∞
f(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且
存在，则∫
-∞
+∞
f(x)dx必收敛，且∫
-∞
+∞
f(x)dx=
③若∫
-∞
+∞
f(x)dx与∫
-∞
+∞
g(x)dx都发散，则∫
-∞
+∞
f(x)dx+g(x)]dx未必发散；
④若∫
-∞
0
f(x)dx与∫
0
+∞
f(x)dx都发散，则∫
-∞
+∞
f(x)dx未必发散。
选项
A、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(C
1
一C
2
)y
3
。
B、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
。
C、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(C
1
—C
2
))y
3
。
D、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
。
答案
A
解析
∫
-∞
+∞
f(x，y)dx收敛
存在常数a，使∫
-∞
a
f(x)dx和∫
a
+∞
f(x)dx都收敛，此时
∫
-∞
+∞
f(x)dx=∫
-∞
a
f(x)dx+∫
a
+∞
f(x)dx。
设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且
但是
∫
-∞
0
f(x)=∫
-∞
0
xdx=∞，∫
0
+∞
f(x)dx=∫
0
+∞
xdx=∞，
故∫
-∞
+∞
f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题。
设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫
-∞
+∞
f(x)dx与∫
-∞
+∞
g(x)dx都发散，但∫
-∞
+∞
[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故选A。
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考研数学一
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