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二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12-4y22-4y32,Q的第1列为 (1)求A. (2)求一个满足要求的正交矩阵Q.
二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12-4y22-4y32,Q的第1列为 (1)求A. (2)求一个满足要求的正交矩阵Q.
admin
2018-04-18
79
问题
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX在正交变换X=QY下化为10y
1
2
-4y
2
2
-4y
3
2
,Q的第1列为
(1)求A.
(2)求一个满足要求的正交矩阵Q.
选项
答案
标准二次型10y
1
2
-4y
2
2
-4y
3
2
的矩阵为 [*] 则Q
-1
AQ=Q
T
AQ=B,A和B相似.于是A的特征值是10,-4,-4. (1)Q的第1列α
1
=[*]是A的属于10的特征向量,其[*]倍η
1
=(1,2,3)
T
也是属于10的特征向量.于是A的属于-4的特征向量和(1,2,3)
T
正交,因此就是方程 x
1
+2x
2
+3x
3
=0 的非零解.求出此方程的一个正交基础解系η
2
=(2,-1,0)
T
,η
3
=(1,2,[*])
T
. 建立矩阵方程A(η
1
,η
2
,η
3
)=(10η
1
,-4η
2
,-4η
3
),用初等变换法解得 [*] (2)将η
2
,η
3
单位化得α
2
=[*](2,-1,0)
T
,α
3
=[*](3,6,-5)
T
. 则正交矩阵Q=(α
1
,α
2
,α
3
)满足要求.
解析
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考研数学二
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