2. 考研
  3. 二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

admin2018-04-18  125
问题 二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为
(1)求A．
(2)求一个满足要求的正交矩阵Q．
选项
答案标准二次型10y12－4y22－4y32的矩阵为 [*] 则Q－1AQ=QTAQ=B，A和B相似．于是A的特征值是10，－4，－4． (1)Q的第1列α1=[*]是A的属于10的特征向量，其[*]倍η1=(1，2，3)T也是属于10的特征向量．于是A的属于－4的特征向量和(1，2，3)T正交，因此就是方程 x1+2x2+3x3=0 的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η2=(2，－1，0)T，η3=(1，2，[*])T． 建立矩阵方程A(η1，η2，η3)=(10η1，－4η2，－4η3)，用初等变换法解得 [*] (2)将η2，η3单位化得α2=[*](2，－1，0)T，α3=[*](3，6，－5)T． 则正交矩阵Q=(α1，α2，α3)满足要求．
解析
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考研数学二

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