设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3， (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．

admin2012-05-31 62

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α₃满足Aα₃＝α₂＋α₃，
(I)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)令P＝(α₁，α₂，α₃)，求P^－1AP．

选项

答案(I)假设α₁，α₂，α₃线性相关，则α₃可由α₁，α₂线性表出，可设α₃＝k₁α₁＋k₂α₂，其中k₁，k₂不全为0，否则由等式Aα₃＝α₂＋α₃得到α₂＝0，不符合题设．因为α₁，α₂为矩阵A的分别属于特征值－1，1的特征向量，所以Aα₁＝－α₁，Aα₂＝α₂，则Aα₃＝A(k₁α₁＋k₂α₂)＝－k₁α₁＋k₂α₂＝α₂＋k₁α₁＋k₂α₂． [*]

解析

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3， (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．

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