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设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3, (I)证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP.
设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3, (I)证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP.
admin
2012-05-31
118
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值-1、1的特征向量,向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
,
(I)证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),求P
-1
AP.
选项
答案
(I)假设α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则α
3
可由α
1
,α
2
线性表出, 可设α
3
=k
1
α
1
+k
2
α
2
,其中k
1
,k
2
不全为0, 否则由等式Aα
3
=α
2
+α
3
得到α
2
=0,不符合题设. 因为α
1
,α
2
为矩阵A的分别属于特征值-1,1的特征向量,所以Aα
1
=-α
1
,Aα
2
=α
2
, 则Aα
3
=A(k
1
α
1
+k
2
α
2
)=-k
1
α
1
+k
2
α
2
=α
2
+k
1
α
1
+k
2
α
2
. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3pC4777K
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考研数学二
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