2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3， (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3， (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．

admin2012-05-31  58
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3，
(I)证明α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．
选项
答案(I)假设α1，α2，α3线性相关，则α3可由α1，α2线性表出， 可设α3＝k1α1＋k2α2，其中k1，k2不全为0， 否则由等式Aα3＝α2＋α3得到α2＝0，不符合题设． 因为α1，α2为矩阵A的分别属于特征值－1，1的特征向量，所以Aα1＝－α1，Aα2＝α2， 则Aα3＝A(k1α1＋k2α2)＝－k1α1＋k2α2＝α2＋k1α1＋k2α2． [*]
解析
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考研数学二

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