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设二次方程x2-Xx+Y=0的两个根相互独立,且都在(0,2)上服从均匀分布,分别求X与Y的概率密度.
设二次方程x2-Xx+Y=0的两个根相互独立,且都在(0,2)上服从均匀分布,分别求X与Y的概率密度.
admin
2016-09-19
84
问题
设二次方程x
2
-Xx+Y=0的两个根相互独立,且都在(0,2)上服从均匀分布,分别求X与Y的概率密度.
选项
答案
设二次方程的两个根为X
1
,X
2
,则它们的概率密度都为f(t)=[*] 记X的概率密度为f
X
(x),则由X=X
1
+X
2
得f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(t)f(x-t)dt,其中f(t)f(x-t)=[*]即f(t)f(x-t)仅在如图3-11的带阴影的平行四边形中取值为[*],在tOx平面的其余部分取值为零.因此, 当x<0或x>4时,f
X
(x)=0; 当0≤x<2时,f
X
(x)=[*] 当2≤x≤4时,f
X
(x)=[*] 即[*] [*] 记Y的概率密度为f
Y
(y),则由Y=X
1
X
2
得 f
Y
(y)=∫
-∞
+∞
[*]dt, 其中[*]仅在图如3-12的带阴影的三角形中取值为[*],在tOy平面的其余部分取值都为零.因此, 当y≤0或y≥4时,f
Y
(y)=0; 当0<y<4时, [*]
解析
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考研数学三
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