设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证： ∫01φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界．

admin2019-01-25 52

问题设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫₀¹(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证：
∫₀¹φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界．

选项

答案考察 ∫₀^x+1φ(t)dt-∫₀^xφ(t)dt=∫_x^x+1φ(t)dt=∫₀¹φ(t)dt=0 (因为(∫_x^x+1φ(t)dt)’=φ(x+1)一φ(x)=0，∫_x^x+1φ(t)dt为常数) 因此∫₀^xφ(t)dt以1为周期．因为∫₀^xφ(t)dt在(一∞，+∞)连续 =>∫₀^xφ(t)dt在[0，1]有界，又它以1为周期=>∫₀^xφ(t)dt在(一∞，+∞)有界．

解析

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