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设xOy平面的第一象限中有曲线F:y=y(x),过点,又M(x,y)为F上任意一点,满足:弧段的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为. 导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;
设xOy平面的第一象限中有曲线F:y=y(x),过点,又M(x,y)为F上任意一点,满足:弧段的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为. 导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;
admin
2016-12-09
57
问题
设xOy平面的第一象限中有曲线F:y=y(x),过点
,又M(x,y)为F上任意一点,满足:弧段
的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为
.
导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;
选项
答案
先求出F在点M(x,y)处的切线方程.Y—y(x)=y’(x)(X—x),其中(X,Y)是切线上点的坐标.在切线方程中令Y=0,得x轴上截距[*]又弧段AM的长度为[*] 由题意得[*]这是积分、微分方程.两边对x求导.可化为二阶微分方程: [*] 又由条件[*]及式①. 令x=0.得[*]因此初值问题为[*] 方程①与②是等价的.
解析
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考研数学二
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