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设A,B是n阶矩阵. (Ⅰ)A是什么矩阵时,若AB=A,必有B=E.A是什么矩阵时,有B≠E,使得AB=A; (Ⅱ)设A=,求所有的B,使得AB=A.
设A,B是n阶矩阵. (Ⅰ)A是什么矩阵时,若AB=A,必有B=E.A是什么矩阵时,有B≠E,使得AB=A; (Ⅱ)设A=,求所有的B,使得AB=A.
admin
2019-01-24
35
问题
设A,B是n阶矩阵.
(Ⅰ)A是什么矩阵时,若AB=A,必有B=E.A是什么矩阵时,有B≠E,使得AB=A;
(Ⅱ)设A=
,求所有的B,使得AB=A.
选项
答案
(Ⅰ)当A是可逆矩阵时,若AB=A,两端右乘A
-1
,必有B=E;当A不可逆时,有B≠E,使得AB=A.因A不可逆时Ax=0有非零解,设Aξ
i
=0(i=1,2,…,n),合并得A(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
)=O,令((ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
)=B-E,即B=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
)+E≠E,则A(B-E)=O,得AB=A,其中B-E≠O,B≠E. (Ⅱ)[*],则 [*],其中k,l是任意常数. [*],k,l是任意常数,即[*]时,使得AB=A的所有的B(因A(B-E)=0,故有AB=A).
解析
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考研数学一
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