2. 考研
  3. 设f(χ)在(－1，1)内二阶连续可导，且f〞(χ)≠0．证明： (1)对(－1，1)内任一点χ≠0，存在唯一的θ(χ)∈(0，1)，使得f(χ)＝f(0)＋f(0)＋χf′(χ)χ]； (2)．

设f(χ)在(－1，1)内二阶连续可导，且f〞(χ)≠0．证明： (1)对(－1，1)内任一点χ≠0，存在唯一的θ(χ)∈(0，1)，使得f(χ)＝f(0)＋f(0)＋χf′(χ)χ]； (2)．

admin2017-09-15  57
问题 设f(χ)在(－1，1)内二阶连续可导，且f〞(χ)≠0．证明：
    (1)对(－1，1)内任一点χ≠0，存在唯一的θ(χ)∈(0，1)，使得f(χ)＝f(0)＋f(0)＋χf′(χ)χ]；
    (2)．
选项
答案(1)对任意χ∈(－1，1)，根据微分中值定理，得 f(χ)＝f(0)＋χf′[θ(χ)χ]，其中0＜θ(χ)＜1． 因为f〞(χ)∈C(－1，1)且f〞(χ)≠0，所以f〞(χ)在(－1，1)内保号，不妨设f〞(χ)＞0， 则f′(χ)在(－1，1)内单调增加，又由于χ≠0，所以θ(χ)是唯一的． (2)由泰勒公式，得 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋[*]，其中ξ介于0与χ之间， 而f(χ)＝f(0)＋χf′[θ(χ)χ]，所以有 [*] 令χ→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得[*]
解析
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考研数学二

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