2. 考研
  3. 设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【 】

设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【 】

admin2021-01-25  34
问题 设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【    】
选项 A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性相关．
B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性无关．
C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性相关．
D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性无关．
答案A
解析 解1  若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数α1，α2，…，αs，使得    k1α1+k2α2+…+ksαs=0两端左乘矩阵A，得
    k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0因k1，k2，…，ks不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
     解2  用排除法
     若A=0为零矩阵，则Aα1，Aα2，…，Aαs均为零向量，从而Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，于是选项(B)(D)均不对．若，则α1、α2线性无关，且Aα1=α1与Aα2=α2线性无关，故选项(C)也不对，所以只有选项(A)正确．
本题主要考查向量组线性相关性的定义及常用的讨论方法．实际上，由于矩阵可以代表线性变换，而线性变换可将线性组合映射为线性组合，从而可将线性相关组映射为线性相关组，如果了解这一点，则可直接选(A)，而不必再深一步考虑．
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考研数学三

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