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设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【 】
设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【 】
admin
2021-01-25
55
问题
设α
1
，α
2
，…，α
3
均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【 】
选项
A、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
，线性相关．
B、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
，线性无关．
C、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
，线性相关．
D、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
，线性无关．
答案
A
解析
解1 若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则存在一组不全为零的常数α
1
，α
2
，…，α
s
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0两端左乘矩阵A，得
k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
s
Aα
s
=0因k
1
，k
2
，…，k
s
不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
解2 用排除法
若A=0为零矩阵，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
均为零向量，从而Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关，于是选项(B)(D)均不对．若
，则α
1
、α
2
线性无关，且Aα
1
=α
1
与Aα
2
=α
2
线性无关，故选项(C)也不对，所以只有选项(A)正确．
本题主要考查向量组线性相关性的定义及常用的讨论方法．实际上，由于矩阵可以代表线性变换，而线性变换可将线性组合映射为线性组合，从而可将线性相关组映射为线性相关组，如果了解这一点，则可直接选(A)，而不必再深一步考虑．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/y0x4777K
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考研数学三
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