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  3. 已知向量组(Ⅰ)，若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价，求a的取值，并将β3用α1，α2，α3线性表示．

已知向量组(Ⅰ)，若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价，求a的取值，并将β3用α1，α2，α3线性表示．

admin2019-06-25  35
问题 已知向量组(Ⅰ)，若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价，求a的取值，并将β3用α1，α2，α3线性表示．
选项
答案由等价的定义可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有 r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3) 对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得： (α1，α2，α3，β1，β2，β3)=[*] 当a= —1时，有r(α1，α2，α3)＜r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)； 当a=1，则r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2 可知a≠1且a≠—1时，此时r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3 则由a=1或者a≠1且a≠—1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示． 此时，要保证α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示， 对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得： [*] 当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2 可知当a≠1且a≠—1时，此时r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3 此时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示， 综上所述：当a= —1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3可相互线性表示． (α1，α2，α3，β3)→[*] 当a≠1时，则β3=α1—α2+α3． (α1，α2，α3，β3)→[*] 当a=1时， 基础解系为[*]，则β3=(3—2k)α1+(k—2)α2+kα3．
解析
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考研数学三

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