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  3. 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表出?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表出?证明你的结论．

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表出?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表出?证明你的结论．

admin2016-04-11  45
问题 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问：
    (1)α1能否由α2，α3线性表出?证明你的结论．
    (2)α4能否由α1，α2，α3线性表出?证明你的结论．
选项
答案(1)α1能由α2，α3线性表出．因为已知α2，α3，α4线性无关，所以α2，α3线性无关．又因为α1，α2，α3线性相关，故证得α1能由α2，α3线性表出． (2)α4不能由α1，α2，α3线性表出．用反证法．设α4可由α1，α2，α3线性表出，即 α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3 由(1)知，设α1=l2α2+l3α3，代入上式，得 α4=(λ2+λ1l1)α2+(λ3+λ1l3)α3． 即α4可由α2，α3线性表出，从而α2，α3，α4线性相关，这和已知矛盾．因此，α4不能由α1，α2，α3线性表出．
解析 本题考查向量线性相关与线性无关的基本概念，特别是部分组与整体组的线性相关性之间的关系．(1)的解直接利用了有关结论．注意由(1)实际上已说明α2，α3是向量组α1，α2，α3的一个最大无关组，由于在线性表出问题中，最大无关组可以代替向量组本身，注意到这一点，(2)的结论则是显然的．
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