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设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表出?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表出?证明你的结论．
设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表出?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表出?证明你的结论．
admin
2016-04-11
31
问题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性相关，向量组α
2
，α
3
，α
4
线性无关，问：
(1)α
1
能否由α
2
，α
3
线性表出?证明你的结论．
(2)α
4
能否由α
1
，α
2
，α
3
线性表出?证明你的结论．
选项
答案
(1)α
1
能由α
2
，α
3
线性表出．因为已知α
2
，α
3
，α
4
线性无关，所以α
2
，α
3
线性无关．又因为α
1
，α
2
，α
3
线性相关，故证得α
1
能由α
2
，α
3
线性表出． (2)α
4
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表出．用反证法．设α
4
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表出，即 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
由(1)知，设α
1
=l
2
α
2
+l
3
α
3
，代入上式，得 α
4
=(λ
2
+λ
1
l
1
)α
2
+(λ
3
+λ
1
l
3
)α
3
． 即α
4
可由α
2
，α
3
线性表出，从而α
2
，α
3
，α
4
线性相关，这和已知矛盾．因此，α
4
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表出．
解析
本题考查向量线性相关与线性无关的基本概念，特别是部分组与整体组的线性相关性之间的关系．(1)的解直接利用了有关结论．注意由(1)实际上已说明α
2
，α
3
是向量组α
1
，α
2
，α
3
的一个最大无关组，由于在线性表出问题中，最大无关组可以代替向量组本身，注意到这一点，(2)的结论则是显然的．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/y5w4777K
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考研数学一
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