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设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
admin
2016-04-11
48
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,向量组α
2
,α
3
,α
4
线性无关,问:
(1)α
1
能否由α
2
,α
3
线性表出?证明你的结论.
(2)α
4
能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表出?证明你的结论.
选项
答案
(1)α
1
能由α
2
,α
3
线性表出.因为已知α
2
,α
3
,α
4
线性无关,所以α
2
,α
3
线性无关.又因为α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故证得α
1
能由α
2
,α
3
线性表出. (2)α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.用反证法.设α
4
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,即 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
由(1)知,设α
1
=l
2
α
2
+l
3
α
3
,代入上式,得 α
4
=(λ
2
+λ
1
l
1
)α
2
+(λ
3
+λ
1
l
3
)α
3
. 即α
4
可由α
2
,α
3
线性表出,从而α
2
,α
3
,α
4
线性相关,这和已知矛盾.因此,α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.
解析
本题考查向量线性相关与线性无关的基本概念,特别是部分组与整体组的线性相关性之间的关系.(1)的解直接利用了有关结论.注意由(1)实际上已说明α
2
,α
3
是向量组α
1
,α
2
,α
3
的一个最大无关组,由于在线性表出问题中,最大无关组可以代替向量组本身,注意到这一点,(2)的结论则是显然的.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/y5w4777K
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考研数学一
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