设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.

admin2016-04-11  48

问题 设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:
    (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.
    (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.

选项

答案(1)α1能由α2,α3线性表出.因为已知α2,α3,α4线性无关,所以α2,α3线性无关.又因为α1,α2,α3线性相关,故证得α1能由α2,α3线性表出. (2)α4不能由α1,α2,α3线性表出.用反证法.设α4可由α1,α2,α3线性表出,即 α41α12α23α3 由(1)知,设α1=l2α2+l3α3,代入上式,得 α4=(λ21l12+(λ31l33. 即α4可由α2,α3线性表出,从而α2,α3,α4线性相关,这和已知矛盾.因此,α4不能由α1,α2,α3线性表出.

解析 本题考查向量线性相关与线性无关的基本概念,特别是部分组与整体组的线性相关性之间的关系.(1)的解直接利用了有关结论.注意由(1)实际上已说明α2,α3是向量组α1,α2,α3的一个最大无关组,由于在线性表出问题中,最大无关组可以代替向量组本身,注意到这一点,(2)的结论则是显然的.
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