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设当a≤x≤b时,a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k<1,对于[a,b]上的任意两点x1与x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|,证明: 对于任意给定的x1∈[a,b],定义xn+1=f(xn),n=1,2,…,则xn存在,且xn=
设当a≤x≤b时,a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k<1,对于[a,b]上的任意两点x1与x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|,证明: 对于任意给定的x1∈[a,b],定义xn+1=f(xn),n=1,2,…,则xn存在,且xn=
admin
2021-06-16
64
问题
设当a≤x≤b时,a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k<1,对于[a,b]上的任意两点x
1
与x
2
,都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤k|x
1
-x
2
|,证明:
对于任意给定的x
1
∈[a,b],定义x
n+1
=f(x
n
),n=1,2,…,则
x
n
存在,且
x
n
=ξ.
选项
答案
为证[*]x
n
=ξ,考虑 |x
n
-ξ|=|f(x
n-1
)-f(ξ)|≤k|x
n-1
-ξ|≤…≤k
n-1
|x
1
-ξ| 其中x
1
与ξ都是确定的值。 所以当n→∞时,|x
n
-ξ|→0,从而证明了[*]x
n
存在,且[*]x
n
=ξ,证明完毕。
解析
注意:此题若增加条件“f(x)在[a,b]上可导,且|f’(x)|≤k<1”则可应用拉格朗日中值定理来完成不等式。
对[a,b]上的任意两点x
1
,x
2
均有
|f(x
1
)-f(x
2
)|=|f’(ξ)(x
1
-x
2
)|≤k|x
1
-x
2
|(ξ介于x
1
与x
2
之间),
也能继续证明本题的结论,其子题可如此设置:
设f(x)=a+bsinx,a为任意常数,0<b<1。
(1)证明f(x)=x有唯一实根ξ;
(2)定义x
n+1
=f(x
n
),n=1,2,...,证明:
.
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考研数学二
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