2. 考研
  3. 设当a≤x≤b时，a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k＜1，对于[a,b]上的任意两点x1与x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤k｜x1－x2｜,证明： 对于任意给定的x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,…,则xn存在，且xn=

设当a≤x≤b时，a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k＜1，对于[a,b]上的任意两点x1与x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤k｜x1－x2｜,证明： 对于任意给定的x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,…,则xn存在，且xn=

admin2021-06-16  51
问题 设当a≤x≤b时，a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k＜1，对于[a,b]上的任意两点x1与x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤k｜x1－x2｜,证明：
对于任意给定的x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,…,则xn存在，且xn=ξ.
选项
答案为证[*]xn=ξ，考虑 ｜xn－ξ｜=｜f(xn-1)－f(ξ)｜≤k｜xn-1－ξ｜≤…≤kn-1｜x1－ξ｜ 其中x1与ξ都是确定的值。 所以当n→∞时，｜xn－ξ｜→0,从而证明了[*]xn存在，且[*]xn=ξ,证明完毕。
解析 注意：此题若增加条件“f(x)在[a,b]上可导，且｜f’(x)｜≤k＜1”则可应用拉格朗日中值定理来完成不等式。
对[a,b]上的任意两点x1,x2均有
｜f(x1)－f(x2)｜=｜f’(ξ)(x1－x2)｜≤k｜x1－x2｜(ξ介于x1与x2之间），
也能继续证明本题的结论，其子题可如此设置：
设f(x)=a+bsinx,a为任意常数，0＜b＜1。
（1）证明f(x)=x有唯一实根ξ；
（2）定义xn+1=f(xn),n=1,2,...,证明：.
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考研数学二

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