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设a,b,n都是常数,.已知存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.[img][/img]
设a,b,n都是常数,.已知存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.[img][/img]
admin
2019-08-11
53
问题
设a,b,n都是常数,
.已知
存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.[img][/img]
选项
答案
先将φ(x)=arctanx按麦克劳林公式展开至n=7.有φ(0)=0,[*]φ″(0)=0.由[*]有φˊ(x)(1+x
2
)=1,记φˊ(x)=g(x),得 g(x)(1+x
2
)=1. 将上式两边对x求n阶导数,由莱布尼茨高阶导数公式,有 g
(n)
(x)(1+x
2
)+C
n
1
g
(n-1)
(x)·2x+C
n
2
g
(n-2)
(x)·2=0,n=2,3,…, 以x=0代入,得 g
(n)
(0)+n(n-1)g
(n-2)
(0)=0 g
(n)
(0)=-n(n-1)g
(n-2)
(0) 即φ
(n+1)
(0)=-n(n-1)φ
(n-1)
(0)n=2,3,…. 由于已有φ(0)=0,φˊ(0)=1,φ″(0)=0,再由递推公式(*)得 φ"’ (0)=-2φˊ(0)=-2,φ
(4)
(0)=0, φ
(5)
(0)=-12φ"’ (0)=24,φ
(6)
(0)=0, φ
(7)
(0)=-30φ
(5)
(0)=-720. [*] 要使n尽可能的大,并使上述极限存在且不为零,先令 [*] 试之,得[*]的分子中x
7
的系数,得 [*] 取n=7,上式成为 [*]即为所求.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9fN4777K
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考研数学二
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