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  3. 设a，b，n都是常数，．已知存在，但不为零，求n的最大值及相应的a，b的值．[img][/img]

设a，b，n都是常数，．已知存在，但不为零，求n的最大值及相应的a，b的值．[img][/img]

admin2019-08-11  31
问题 设a，b，n都是常数，．已知存在，但不为零，求n的最大值及相应的a，b的值．[img][/img]
选项
答案 先将φ(x)=arctanx按麦克劳林公式展开至n=7．有φ(0)=0，[*]φ″(0)=0．由[*]有φˊ(x)(1+x2)=1，记φˊ(x)=g(x)，得 g(x)(1+x2)=1． 将上式两边对x求n阶导数，由莱布尼茨高阶导数公式，有 g(n)(x)(1+x2)+Cn1g(n－1)(x)·2x+Cn2g(n－2)(x)·2=0，n=2，3，…， 以x=0代入，得 g(n)(0)+n(n－1)g(n－2)(0)=0 g(n)(0)=－n(n－1)g(n－2)(0) 即φ(n+1)(0)=－n(n－1)φ(n－1)(0)n=2，3，…． 由于已有φ(0)=0，φˊ(0)=1，φ″(0)=0，再由递推公式(*)得 φ"’ (0)=－2φˊ(0)=－2，φ(4)(0)=0， φ(5)(0)=－12φ"’ (0)=24，φ(6)(0)=0， φ(7)(0)=－30φ(5)(0)=－720． [*] 要使n尽可能的大，并使上述极限存在且不为零，先令 [*] 试之，得[*]的分子中x7的系数，得 [*] 取n=7，上式成为 [*]即为所求．
解析
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考研数学二

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