设a,b,n都是常数,.已知存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.[img][/img]

admin2019-08-11  32

问题 设a,b,n都是常数,.已知存在,但不为零,求n的最大值及相应的a,b的值.[img][/img]

选项

答案 先将φ(x)=arctanx按麦克劳林公式展开至n=7.有φ(0)=0,[*]φ″(0)=0.由[*]有φˊ(x)(1+x2)=1,记φˊ(x)=g(x),得 g(x)(1+x2)=1. 将上式两边对x求n阶导数,由莱布尼茨高阶导数公式,有 g(n)(x)(1+x2)+Cn1g(n-1)(x)·2x+Cn2g(n-2)(x)·2=0,n=2,3,…, 以x=0代入,得 g(n)(0)+n(n-1)g(n-2)(0)=0 g(n)(0)=-n(n-1)g(n-2)(0) 即φ(n+1)(0)=-n(n-1)φ(n-1)(0)n=2,3,…. 由于已有φ(0)=0,φˊ(0)=1,φ″(0)=0,再由递推公式(*)得 φ"’ (0)=-2φˊ(0)=-2,φ(4)(0)=0, φ(5)(0)=-12φ"’ (0)=24,φ(6)(0)=0, φ(7)(0)=-30φ(5)(0)=-720. [*] 要使n尽可能的大,并使上述极限存在且不为零,先令 [*] 试之,得[*]的分子中x7的系数,得 [*] 取n=7,上式成为 [*]即为所求.

解析
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