已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

admin2018-09-20 39

问题已知y₁=xe^x+e^2x和y₂=xe^x+e^-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

选项 A、y"一2y’+y=e^2x
B、y"一y’一2y=xe^x
C、y"一y’一2y=e^x一2xe^x
D、y"一y=e^2x

答案C

解析非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y₁一y₂=e^2x一e^-x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C₁e^2x+C₂e^-x，故特征根r₁=2，r₂=一1．对应齐次线性方程为
y"一y’一2y=0．
再由特解y*=xe^x知非齐次方程的自由项
f(x)=(y*)”一(y*)’一2y*=e^x一2xe^x，
于是所求方程为
y"一y’一2y=e^x一2xe^x．

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