设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+6y32。 求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;

admin2019-04-22  42

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+6y32
求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;

选项

答案二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知矩阵A的特征值为2,2,6。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值,而实对称矩阵A必可相似对角化,所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E—A的秩为1,而 [*] 所以a=一1。由(λiE一A)x=0(i=1,2,3)解得特征值λ12=2和λ3=一1对应的特征向量分别为α1=(1,0,一1)T,α2=(0,1,一1)T,α3=(1,1,1)T,由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以先将α1,α2正交化,即 [*] 再将β1,β2,α3单位化,即 [*] 则正交变换矩阵Q=(γ1,γ2,γ3)=[*]

解析
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