2. 考研
  3. 设3阶矩阵A＝的秩R(A)＝1，α1＝(1，－2，1)T，α2＝(1，1，－1)T，α3＝(2，1，－2)T是A的特征向量． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求方程组AX＝b的通解。其中b＝(2，1，－2)T．

设3阶矩阵A＝的秩R(A)＝1，α1＝(1，－2，1)T，α2＝(1，1，－1)T，α3＝(2，1，－2)T是A的特征向量． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求方程组AX＝b的通解。其中b＝(2，1，－2)T．

admin2020-10-30  32
问题 设3阶矩阵A＝的秩R(A)＝1，α1＝(1，－2，1)T，α2＝(1，1，－1)T，α3＝(2，1，－2)T是A的特征向量．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求方程组AX＝b的通解。其中b＝(2，1，－2)T．
选项
答案(Ⅰ)因为｜α1，α2，α3｜＝[*] 所以α1，α2，α3线性无关，于是A可相似对角化． 由R(A)＝1，知A有两个特征值λ1＝λ2＝0，A的3行元素成比例，显然Aα1＝0·α1，Aα2＝0·α2，即α1，α2是A的特征值λ1＝λ2＝0对应的特征向量；又[*]故A的特征向量α3；对应的特征值λ3＝－1．取P＝（α1，α2，α3）＝[*]，则P－1AP＝A＝[*] 于是[*] (Ⅱ)对[*]实施初等行变换，得[*] Ax＝b的同解方程组为[*] 故Ax＝b的通解为 [*]，其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学三

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