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设3阶矩阵A=的秩R(A)=1,α1=(1,-2,1)T,α2=(1,1,-1)T,α3=(2,1,-2)T是A的特征向量. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求方程组AX=b的通解。其中b=(2,1,-2)T.
设3阶矩阵A=的秩R(A)=1,α1=(1,-2,1)T,α2=(1,1,-1)T,α3=(2,1,-2)T是A的特征向量. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求方程组AX=b的通解。其中b=(2,1,-2)T.
admin
2020-10-30
80
问题
设3阶矩阵A=
的秩R(A)=1,α
1
=(1,-2,1)
T
,α
2
=(1,1,-1)
T
,α
3
=(2,1,-2)
T
是A的特征向量.
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求方程组AX=b的通解。其中b=(2,1,-2)
T
.
选项
答案
(Ⅰ)因为|α
1
,α
2
,α
3
|=[*] 所以α
1
,α
2
,α
3
线性无关,于是A可相似对角化. 由R(A)=1,知A有两个特征值λ
1
=λ
2
=0,A的3行元素成比例,显然Aα
1
=0·α
1
,Aα
2
=0·α
2
,即α
1
,α
2
是A的特征值λ
1
=λ
2
=0对应的特征向量;又[*]故A的特征向量α
3
;对应的特征值λ
3
=-1.取P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*],则P
-1
AP=A=[*] 于是[*] (Ⅱ)对[*]实施初等行变换,得[*] Ax=b的同解方程组为[*] 故Ax=b的通解为 [*],其中k
1
,k
2
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yDx4777K
0
考研数学三
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