设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且((x，y)∈D)，问： (I)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光

admin2021-11-15 45

问题设D₀是单连通区域，点M₀∈D₀，D=D₀＼{M₀}(即D是单连通区域D₀除去一个点M₀)，若P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且

((x，y)∈D)，问：
(I)∫_LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关；
(Ⅱ)若又存在一条环绕M₀的分段光滑闭曲线C₀使得

+Qdy=0,∫_LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关．

选项

答案(I)这里D不是单连通区域，所以不能肯定积分∫_LPdx+Qdy在D上与路径无关．例如：积分[*]则 [*] 即在全平面除原点外P(x，y)，Q(x，y)均有连续的一阶偏导数，且[*] 但若取L为C⁺即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则 [*] 因此，该积分不是与路径无关． (Ⅱ)能肯定积分在D上与路径无关．按挖去奇点的思路，我们作以M₀为心，ε＞0为半径的圆周C_ε，使C_ε在C₀所围区域内．C_ε和C₀所围区域记为D_ε(见图10．10)．在D_ε上用格林公式得 [*] 其中C₀，C_ε均是逆时针方向．所以 [*] 因此，ε＞0充分小，只要C_ε在C₀所围区域内，均有 [*] 现在我们可证：对D内任意分段光滑闭曲线C，均有 [*] 若C不包围M₀，在C所围的区域上用格林公式，立即可得②式成立．若C包围M₀点，则可作以M₀为心，ε＞0为半径的小圆周C_ε，使得C_ε在C所围区域内且①成立．在C与C_ε所围的区域上用格林公式同理可证 [*]

解析

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考研数学一

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设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且((x，y)∈D)，问： (I)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光

考研数学一

设随机变量X和Y的相关系数为0．5，E(X)=E(Y)=0，E(X2)=E(Y2)=2，则E[(X+Y)2]=______.

设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，记Y=X1一2X2+3X3，则D(Y)=_____________．

如图1－8－1所示，设连接点O(0，0)与点Q(1，1)的一条凸曲线弧对于其上任意一点P(x，y)，曲线弧与直线段OP围成的图形面积为x2，求曲线弧的方程．

求微分方程的通解．

微分方程yy"+y′2=0满足初始条件y|x=0=1，的特解是_________．

xOy面上的曲线(x一2)2+y2=1绕Ox轴旋转而成的曲面方程是___________．

设随机变量X的密度函数为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量Y的密度函数为f(一y)，且X与Y的相关系数为记Z=X+Y．(Ⅰ)求EZ，DZ；(Ⅱ)用切比雪夫不等式估计P{|Z|≥2)．

设函数f(x)处处可导，且(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

一个盒子中有4个小球，球上分别标有号码0，1，1，2，有放回地取2个球，以X表示两次抽到球上号码数的乘积，求X的分布律．

袋中装有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是__________________．

对胃液分泌有抑制作用的因素有

女性。着凉后出现尿频，尿急，尿痛，发热，该患者因为延误治疗发展为急性肾盂肾炎，患者的热型为

患者，男，59岁。因下肢深静脉血栓入院，某护士在对患者进行评估后认为他存在活动能力受限，用PES公式书写护理诊断，其中S代表

根据2006年生效的《中华人民共和国公务员法》的有关规定，判断以下说法中不正确的是哪些选项?

为避免抵押合同无效造成贷款风险，银行抵押贷款首先要做好()，才能真正保证贷款抵押的安全性。

设A为n阶可逆矩阵，证明：(A)=｜A｜n－2A．

有如下程序main(){intx=1，a=0，b=0；switch(x){case0：b++；case1：a++；case2：a++；b++；}pr

HenryKissingerwasborninasmalltown,located【C1】______thesouthGermanprovinceofFranconia,onMay27,1923.Hisfatherwa

设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且((x，y)∈D)，问： (I)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光

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设随机变量X和Y的相关系数为0．5，E(X)=E(Y)=0，E(X2)=E(Y2)=2，则E[(X+Y)2]=______.

设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，记Y=X1一2X2+3X3，则D(Y)=_____________．

如图1－8－1所示，设连接点O(0，0)与点Q(1，1)的一条凸曲线弧对于其上任意一点P(x，y)，曲线弧与直线段OP围成的图形面积为x2，求曲线弧的方程．

求微分方程的通解．

微分方程yy"+y′2=0满足初始条件y|x=0=1，的特解是_________．

xOy面上的曲线(x一2)2+y2=1绕Ox轴旋转而成的曲面方程是___________．

设随机变量X的密度函数为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量Y的密度函数为f(一y)，且X与Y的相关系数为记Z=X+Y．(Ⅰ)求EZ，DZ；(Ⅱ)用切比雪夫不等式估计P{|Z|≥2)．

设函数f(x)处处可导，且(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

一个盒子中有4个小球，球上分别标有号码0，1，1，2，有放回地取2个球，以X表示两次抽到球上号码数的乘积，求X的分布律．

袋中装有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是__________________．

对胃液分泌有抑制作用的因素有

女性。着凉后出现尿频，尿急，尿痛，发热，该患者因为延误治疗发展为急性肾盂肾炎，患者的热型为

患者，男，59岁。因下肢深静脉血栓入院，某护士在对患者进行评估后认为他存在活动能力受限，用PES公式书写护理诊断，其中S代表

根据2006年生效的《中华人民共和国公务员法》的有关规定，判断以下说法中不正确的是哪些选项?

为避免抵押合同无效造成贷款风险，银行抵押贷款首先要做好()，才能真正保证贷款抵押的安全性。

设A为n阶可逆矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n－2A．

有如下程序main(){intx=1，a=0，b=0；switch(x){case0：b++；case1：a++；case2：a++；b++；}pr

HenryKissingerwasborninasmalltown,located【C1】______thesouthGermanprovinceofFranconia,onMay27,1923.Hisfatherwa

设A为n阶可逆矩阵，证明：(A)=｜A｜n－2A．