设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

admin2017-02-13 97

问题设A为三阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，令β＝α₁+α₂+α₃。
证明：向量组β，Aβ，A²β线性无关；

选项

答案设k₁，k₂，k₃是实数，满足k₁β+k₂AB＋k₃A²β=0，根据已知有Aα_i=λ_iα_i，(i=1，2，3)，所以 AB=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃，将上述结果代入k₁β+k₂AB+k₃A²B=0可得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃)α₃=0。 α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此 [*] 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式[*]≠0，因此k₁=k₂=k₃=0，故β，Aβ，A²β线性无关。

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

考研数学三

求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示：α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)；

证明：当0

设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对价格P的弹性εP=2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加______元．

二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x12-4x2x3的正惯性指数为()．

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，P)T．P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设D是平面有界闭区域，f(x，y)与g(x，y)都在D上连续，且g(x，y)在D上不变号，证明：存在(ε，η)∈D，使得

利用定积分定义计算由抛物线y＝x2＋1，两直线x＝a，x＝b(b＞a)及x轴所围成图形的面积．

证明下列命题：设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)二阶可导且f(0)=f(1)=0，f’’(x)0(x∈(0，1))．

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则

根管机械预备的目的如下，除外

重置成本法是在现时条件下，被评估资产全新状态的重置成本减去该项资产的(　　)，估算资产价值的方法。

房地产开发项目的竣工决算是由()编制的。

下列各项中，不得在企业所得税税前扣除的有()。

下列行为属于公共政策诉求的是()。

根据以下资料，回答下列小题。2009—2012年间一次能源生产量增长最快的一年的增长率约是增长最慢的一年的增长率的多少倍?()

DuringtheApril28earthquake,thewholeEnglandwasleftwithoutpower.Mussonpredictedthatanotherearthquakewouldoccur

KeepOurSeasCleanA)Bytheyear2050itisestimatedthattheworld’spopulationcouldhaveincreasedtoaround12billio

设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。 证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

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证明：当0

设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对价格P的弹性εP=2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加______元．

二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x12-4x2x3的正惯性指数为()．

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，P)T．P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设D是平面有界闭区域，f(x，y)与g(x，y)都在D上连续，且g(x，y)在D上不变号，证明：存在(ε，η)∈D，使得

利用定积分定义计算由抛物线y＝x2＋1，两直线x＝a，x＝b(b＞a)及x轴所围成图形的面积．

证明下列命题：设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)二阶可导且f(0)=f(1)=0，f’’(x)0(x∈(0，1))．

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则

根管机械预备的目的如下，除外

重置成本法是在现时条件下，被评估资产全新状态的重置成本减去该项资产的( )，估算资产价值的方法。

房地产开发项目的竣工决算是由()编制的。

下列各项中，不得在企业所得税税前扣除的有()。

下列行为属于公共政策诉求的是()。

根据以下资料，回答下列小题。2009—2012年间一次能源生产量增长最快的一年的增长率约是增长最慢的一年的增长率的多少倍?()

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设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

重置成本法是在现时条件下，被评估资产全新状态的重置成本减去该项资产的(　　)，估算资产价值的方法。