设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

admin2017-02-13 102

问题设A为三阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，令β＝α₁+α₂+α₃。
证明：向量组β，Aβ，A²β线性无关；

选项

答案设k₁，k₂，k₃是实数，满足k₁β+k₂AB＋k₃A²β=0，根据已知有Aα_i=λ_iα_i，(i=1，2，3)，所以 AB=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃，将上述结果代入k₁β+k₂AB+k₃A²B=0可得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃)α₃=0。 α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此 [*] 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式[*]≠0，因此k₁=k₂=k₃=0，故β，Aβ，A²β线性无关。

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

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