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设3阶实对称矩阵A的特征值,λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
设3阶实对称矩阵A的特征值,λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
admin
2016-10-26
33
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值,λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,且α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量.记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B.
选项
答案
(Ⅰ)由Aα=λα有A
n
α=λ
n
α.那么,对于Aα
1
=λ
1
α
1
=α
1
,有 Bα
1
=(A
5
一4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
一4A
3
α
1
+α
1
=([*]+1)α
1
=-2α
1
. 因此,向量α
1
是矩阵B属于特征值λ=-2的特征向量. 类似地,对λ
2
=2,λ
3
=-2有:若Aα=λ
2
α,则Bα=([*]+1)α=α; 若Aβ=λ
3
β,则Bβ=([*]+1)β=β, 那么α,β是矩阵B属于特征值λ=1的特征向量.因α,β是矩阵A不同特征值的特征向量,因此它们线性无关.从而矩阵B的特征值是:一2,1,1,且矩阵B属于特征值λ=-2的特征向量是k
1
α
1
(k
1
≠0). 又由A是实对称矩阵知,B是实对称矩阵.那么B的属于特征值λ=1与λ=-2的特征向量应当相互正交.设矩阵B属于λ=1的特征向量α=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则 x
1
-x
2
+x
3
=0. 解此方程组得基础解系α
2
=(1,1,0)
T
,α
3
=(一1,0,1)
T
.故矩阵B属于λ=1的特征向量是k
2
α
2
+k
3
α
3
(k
2
,k
3
不全为0). (Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),有P
-1
BP=[*]那么 [*]
解析
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考研数学一
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