设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为志k1(0，1，1，0)T＋k2(－1，2，2，1)T． (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系； (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解

admin2017-06-26 72

问题设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为

，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为志k₁(0，1，1，0)^T＋k₂(－1，2，2，1)^T．
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由．

选项

答案(1)(0，0，1，0)^T，(－1，1，0，1)^T． (2)有非零公共解，所有非零公共解为c(－1，1，1，1)^T(c为任意非零常数)．将(Ⅱ)的通解代入方程组(Ⅰ)，有[*]，解得k₁＝－k₂，当k₁＝－k₂≠0时，则向量k₁(0，1，1，0)^T＋k₂(－1，2，2，1)^T＝k₂[(0，－1，－1，0)^T＋(－1，2，2，1)^T]＝k₂(－1，1，1，1)^T满足方程组(Ⅰ)(显然是(Ⅱ)的解)，故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，所有非零公共解是c(－1，1，1，1)^T(c为任意非零常数)．

解析

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考研数学三

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