设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为,又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为志k1(0,1,1,0)T+k2(-1,2,2,1)T. (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系; (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解

admin2017-06-26  32

问题 设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为,又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为志k1(0,1,1,0)T+k2(-1,2,2,1)T
    (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
    (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解;若没有,则说明理由.

选项

答案(1)(0,0,1,0)T,(-1,1,0,1)T. (2)有非零公共解,所有非零公共解为c(-1,1,1,1)T(c为任意非零常数).将(Ⅱ)的通解代入方程组(Ⅰ),有[*],解得k1=-k2,当k1=-k2≠0时,则向量k1(0,1,1,0)T+k2(-1,2,2,1)T=k2[(0,-1,-1,0)T+(-1,2,2,1)T]=k2(-1,1,1,1)T满足方程组(Ⅰ)(显然是(Ⅱ)的解),故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解,所有非零公共解是c(-1,1,1,1)T(c为任意非零常数).

解析
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