设f(x)在[一2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数绝对收敛.

admin2018-06-14  29

问题 设f(x)在[一2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数绝对收敛.

选项

答案由于f(x)在[一2,2]上有连续的导数,则|f’(x)|在[一2,2]上连续,设M为|f’(x)|在[一2,2]上的最大值,则x∈[一1,1]时, F(x)=∫-xxf(x+t)dt=∫02xf(u)du=∫02xf(u)d(u一2x) =f(u)(u一2x)|02x一∫02xf’(u)(u一2x)du=一∫02xf’(u)(u一2x)du, 由此可得 |F(x)|≤M∫02x(2x—u)du=2Mx2,x∈[一1,1]. 因此[*]收敛,由比较判别法可得[*]绝对收敛.

解析
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