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求函数f(x,y)=x2+8y2一4x2y2在区域D={(x,y)|x2+4y2≤4,y≥0}上的最大值与最小值.
求函数f(x,y)=x2+8y2一4x2y2在区域D={(x,y)|x2+4y2≤4,y≥0}上的最大值与最小值.
admin
2017-10-23
49
问题
求函数f(x,y)=x
2
+8y
2
一4x
2
y
2
在区域D={(x,y)|x
2
+4y
2
≤4,y≥0}上的最大值与最小值.
选项
答案
首先求f(x,y)在D内其驻点处的函数值.令 [*] 因在D内y>0,从而可解出f(x,y)在D内有且只有两个驻点[*]。计算可得 [*] 其次求f(x,y)在D的边界[*]={(x,y)||x|≤2,y=0}上的最大值与最小值.把y=0代入f(x,y)的表达式可得f(x,0)=x
2
,不难得出在[*]上f(x,y)的最小值为f(0,0)=0,最大值为f(一2,0)=f(2,0)=4. 最后求f(x,y)在D的边界[*]={(x,y)|x
2
+4y
2
=4,y≥0}上的最大值与最小值.把y=[*]代入f(x,y)的表达式可得一元函数 [*] =x
2
+(2一x
2
)(4一x
2
)=x
4
—5x
2
+8. 令h’(x)=4x
3
一10x=4x(x
2
一[*]内共有三个驻点(0,1),[*],函数f(x,y)在这三个驻点处的函数值分别是 [*] 又因f(x,y)在[*]的端点(一2,0)与(2,0)处的函数值为f(一2,0)=f(2,0)=4.比较即知f(x,y)在[*]. 比较以上各值可知f(x,y)在D上的最大值为f(0,1)=8,最小值为f(0,0)=0.
解析
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考研数学三
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