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  3. 求函数f(x，y)=x2+8y2一4x2y2在区域D={(x，y)｜x2+4y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．

求函数f(x，y)=x2+8y2一4x2y2在区域D={(x，y)｜x2+4y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．

admin2017-10-23  73
问题 求函数f(x，y)=x2+8y2一4x2y2在区域D={(x，y)｜x2+4y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．
选项
答案首先求f(x，y)在D内其驻点处的函数值．令 [*] 因在D内y＞0，从而可解出f(x，y)在D内有且只有两个驻点[*]。计算可得 [*] 其次求f(x，y)在D的边界[*]={(x，y)｜｜x｜≤2，y=0}上的最大值与最小值．把y=0代入f(x，y)的表达式可得f(x，0)=x2，不难得出在[*]上f(x，y)的最小值为f(0，0)=0，最大值为f(一2，0)=f(2，0)=4． 最后求f(x，y)在D的边界[*]={(x，y)｜x2+4y2=4，y≥0}上的最大值与最小值．把y=[*]代入f(x，y)的表达式可得一元函数 [*] =x2+(2一x2)(4一x2)=x4—5x2+8． 令h’(x)=4x3一10x=4x(x2一[*]内共有三个驻点(0，1)，[*]，函数f(x，y)在这三个驻点处的函数值分别是 [*] 又因f(x，y)在[*]的端点(一2，0)与(2，0)处的函数值为f(一2，0)=f(2，0)=4．比较即知f(x，y)在[*]． 比较以上各值可知f(x，y)在D上的最大值为f(0，1)=8，最小值为f(0，0)=0．
解析
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考研数学三

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