证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过

admin2017-10-19 28

问题证明：当x≥0时，f(x)=∫₀^x(t一t²)sin²ⁿtdt的最大值不超过

选项

答案当x＞0时，令f’(x)=(x—x²)sin²ⁿx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，f’(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x=1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)．因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[0，1]时，(x一x²)sin²ⁿx≤(x一x²)x²ⁿ=x²ⁿ⁺¹一x²ⁿ⁺²，于是f(x)≤f(1)=∫₀¹(x一x²)sin²ⁿxdx≤∫₀¹(x²ⁿ⁺¹—x²ⁿ⁺²)dx=[*]

解析

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