设函数f(x)具有二阶导数，且满足f(x)+f’(π—x)=sinx， f(π／2)=0，求f(x)．

admin2016-12-09 42

问题设函数f(x)具有二阶导数，且满足f(x)+f’(π—x)=sinx， f(π／2)=0，求f(x)．

选项

答案在已知等式两端对x求导，得到 f’(x)一f’’(π—x)=cosx．令u=π－x，即x=π一u，上述方程化为 f’(π一u)一f’’(u)=cos(π一u)=一cosu，即 f’(π—x)一f’’(x)=一cosx． ① 又 f(x)+f’(π—x)=sinx， ② 由式①一式②得到一f’’(x)一f(x)=一cosx—sinx，即 f’’(x)+f(x)=cosx+sinx． ③ 易求得方程③对应的齐次方程的通解为c₁cosx+c₂sinx；③的一个特解为[*] 故方程③的通解为[*] 由f(π／2)=0且f(x)+f’(π—x)=sinx易求得f’(π／2)=1，代入求得[*] 于是[*]

解析

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