设连续函数f(x)满足f(x)+2x∫0xf(x-t)dt=x(x＞0)，且f(1)=1/e，则f(x)的极大值点和极大值分别为________.

admin2022-12-09 9

问题设连续函数f(x)满足f(x)+2x∫₀^xf(x-t)dt=x(x＞0)，且f(1)=1/e，则f(x)的极大值点和极大值分别为________.

选项

答案[*]

解析由∫₀^xf(x-t)dt

∫₀^xf(u)du得
f(x)+2x|f(u)du=x，或f(x)/x+2∫₀^xf(u)du=1，
两边求导得
[xf′(x)-f(x)]/x²+2f(x)=0，
整理得
xf′(x)+(2x²-1)f(x)=0或f′(x)+(2x-1/x)f(x)=0，

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