设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,证明:存在ξ∈(1,2),使得ξf’(ξ)=f(ξ)=f(2)-2f(1).

admin2021-11-09  23

问题 设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,证明:存在ξ∈(1,2),使得ξf’(ξ)=f(ξ)=f(2)-2f(1).

选项

答案由xf’(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得[*]=0. 从而[*]=0,辅助函数为φ(x)=[*] 令φ(x)=[*] 则φ(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且φ(1)=φ(2)=f(2)-f(1), 由罗尔定理,存在ξ∈(1,2),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=[*],故ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1).

解析
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