设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3． (Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)=2； (Ⅱ)求常数a，b的值及通解．

admin2016-05-17 41

问题设非齐次线性方程组

有三个线性无关解α₁，α₂，α₃．
(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)=2；
(Ⅱ)求常数a，b的值及通解．

选项

答案(I)令r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2． α₁－α₂，α₁－α₃为对应的齐次线性方程组的两个解．令k₁(α₁－α₂)+k₂(α₁－α₃)=0，即(k₁+k₂)α₁－k₁α₂－k₂α₃=0．因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以k₁=k₂=0，即α₁－α₂，α₁－α₃线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)=2． [*]

解析

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