2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，且f(1)=2．若f(x)的反函数g(x)满足 ∫2f(lnx+1)g(t)dt=xlnx， 求f(x)．

设函数f(x)在[0，+∞)内可导，且f(1)=2．若f(x)的反函数g(x)满足 ∫2f(lnx+1)g(t)dt=xlnx， 求f(x)．

admin2015-04-30  49
问题 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，且f(1)=2．若f(x)的反函数g(x)满足
    ∫2f(lnx+1)g(t)dt=xlnx，
求f(x)．
选项
答案在题设等式中令x=1，由于f(1)=2，则等式自然成立．现将题设等式两端对x求导，利用变上限定积分求导公式，复合函数求导公式及反函数的概念可得所求函数的导数满足的关系式，再由定解条件即可求出f(x)．将题设等式两端对x求导数，得 g[f(lnx+1)]f’(lnx+1).[*]=lnx+1． (将上式对x从1到x积分即得题设等式，因此上式与原等式等价．) 因f(x)与g(x)互为反函数，所以g[f(u)]≡u，代入上式，得 (lnx+1)f’(lnx+1)[*]=lnx+1，即 f’(lnx+1)=x． 令lnx+1=u，则有x=eu—1，且f’(u)=eu—1，积分得f(u)=eu—1+C．利用已知函数值f(1)=2可确定常数C=1，故f(x)=ex—1+1．
解析
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考研数学二

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