2. 考研
  3. 设f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0。证明： (Ⅰ)对于任意的x∈(-1，0)∪(0，1)，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立； (Ⅱ)

设f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0。证明： (Ⅰ)对于任意的x∈(-1，0)∪(0，1)，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立； (Ⅱ)

admin2018-11-22  27
问题 设f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0。证明：
(Ⅰ)对于任意的x∈(-1，0)∪(0，1)，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；
(Ⅱ)
选项
答案(Ⅰ)由拉格朗13中值定理，对任意的x∈(-1，1)，x≠0，存在θ(x)∈(0，1)使 f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)。 又由f’’(x)连续且f’’(x)≠0知，f’’(x)在(-1，1)不变号，则f’(x)在(-1，1)严格单调，θ唯一。 (Ⅱ)对f’(θx)使用f’’(0)的定义。由(Ⅰ)中的式子，则有 [*] 解出θ，令x→0取极限得 [*]
解析
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考研数学一

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