设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2．

admin2017-03-15 47

问题设A为n阶矩阵，证明：r(A^*)=

，其中n≥2．

选项

答案AA^*=A^*A=｜A｜E．当r(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A^*｜=｜A｜^n—1，所以｜A^*｜≠0，从而r(A^*)=n；当r(A)=n一1时，由于A至少有一个n一1阶子式不为零，所以存在一个M_ij≠0，进而 A_ij≠0，于是A^*≠O，故r(A^*)≥1，又因为｜A｜=0，所以AA^*=｜A｜E=O，根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A^*)≤n，而r(A)=n一1，于是得r(A^*)≤1，故r(A^*)=1；当r(A)＜n一1时，由于A的所有n一1阶子式都为零，所以A^*=O，故r(A^*)=0．

解析

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考研数学一

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