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  3. 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2．

设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2．

admin2017-03-15  48
问题 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2．
选项
答案AA*=A*A=｜A｜E． 当r(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜=｜A｜n—1，所以｜A*｜≠0，从而r(A*)=n； 当r(A)=n一1时，由于A至少有一个n一1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而 Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因为｜A｜=0，所以AA*=｜A｜E=O，根据矩 阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n，而r(A)=n一1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)=1； 当r(A)＜n一1时，由于A的所有n一1阶子式都为零，所以A*=O，故r(A*)=0．
解析
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考研数学一

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