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平面区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2},试估计[x(1+y)-(x2+y2)]dxdy的取值范围.
平面区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2},试估计[x(1+y)-(x2+y2)]dxdy的取值范围.
admin
2022-07-21
43
问题
平面区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2},试估计
[x(1+y)-(x
2
+y
2
)]dxdy的取值范围.
选项
答案
令f(x,y)=x(1+y)-(x
2
+y
2
),(x,y)∈D.由 [*] 解得驻点为(2/3,1/3),进一步可以判定f(2/3,1/3)=1/3为f(x,y)极大值. 现求f(x,y)在边界上的极值,在线段x=0,0≤y≤2上,f(x,y)=-y
2
在0≤y≤2有-4≤f(x,y)≤0.在线段x=1,0≤y≤2上,f(1,y)=y-y
2
,由[*]=1-2y得驻点为y=1/2,且f(1,1/2)=1/4,又f(1,0)=0,f(1,2)=-2,故在x=1,0≤y≤2有-2≤f(x,y)≤1/4. 同理可以判定,在y=0,0≤x≤1上0≤f(x,y)≤1/4.在y=2,0≤x≤1上-4≤f(x,y)≤-2.综上所述f(x,y)在D的最大值、最小值分别为1/3,-4,即-4≤f(x,y)≤1/3.于是根据不等式性质,得 [*]
解析
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考研数学三
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