设A，B为n阶矩阵，且r(A)＋r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

admin2019-11-25 67

问题设A，B为n阶矩阵，且r(A)＋r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

选项

答案因为r(A)＋r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ＝0为A，B公共的特征值， A的属于特征值λ＝0的特征向量即为方程组AX＝0的非零解； B的属于特征值λ＝0的特征向量即为方程组BX＝0的非零解，因为r[*]≤r(A)＋r(B)＜n，所以方程组[*]有非零解，即A，B有公共的特征向量．

解析

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考研数学三

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