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设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3f(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得fˊ(ξ)=2ξf(ξ).
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3f(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得fˊ(ξ)=2ξf(ξ).
admin
2016-09-13
86
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3
f(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得fˊ(ξ)=2ξf(ξ).
选项
答案
由积分中值定理,得f(1)=e[*]f(ξ
1
),ξ
1
∈[*]. 令F(x)=[*]f(x),则F(x)在[ξ
1
,1]上连续,在(ξ
1
,1)内可导,且 F(1)=f(1)=[*]f(ξ
1
)=F(ξ
1
). 由罗尔定理,在(ξ
1
,1)内至少有一点ξ,使得 Fˊ(ξ)=[*][fˊ(ξ)-2ξf(ξ)]=0, 于是fˊ(ξ)=2ξf(ξ),ξ∈(ξ
1
,1)[*](0,1).
解析
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考研数学三
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