设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足f(1)=3f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得fˊ(ξ)=2ξf(ξ)．

admin2016-09-13 119

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足f(1)=3

f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得fˊ(ξ)=2ξf(ξ)．

选项

答案由积分中值定理，得f(1)=e[*]f(ξ₁)，ξ₁∈[*]．令F(x)=[*]f(x)，则F(x)在[ξ₁，1]上连续，在(ξ₁，1)内可导，且 F(1)=f(1)=[*]f(ξ₁)=F(ξ₁)．由罗尔定理，在(ξ₁，1)内至少有一点ξ，使得 Fˊ(ξ)=[*][fˊ(ξ)－2ξf(ξ)]=0，于是fˊ(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ₁，1)[*](0，1)．

解析

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