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  3. 设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明：数列{xn}的极限存在，并求此极限。

设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明：数列{xn}的极限存在，并求此极限。

admin2018-04-14  79
问题 设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明：数列{xn}的极限存在，并求此极限。
选项
答案由0＜x1＜3，知x1，3－x1均为正数，故 0＜x2=[*]≤1／2(x1+3－x1)=3／2。 设0＜xk≤3／2(k＞1)，则0＜xk+1=[*]≤1／2(xk+3－xk)=3／2。 由数学归纳法知，对任意正整数n＞1，均有0＜xn≤3／2，因而数列{xn}有界。 又当n＞1时， xn+1－xn [*] 因而有xn+1≥xn(n＞1)，即数列{xn}单调增加。 由单调有界数列必有极限，知[*]xn存在。 设[*]xn=a，在xn+1=[*]两边取极限，得a=[*]，解得a=3／2，a=0(舍去)。 故[*]xn=3／2。
解析
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考研数学二

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