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设0<x1<3,xn+1=(n=1,2,…),证明:数列{xn}的极限存在,并求此极限。
设0<x1<3,xn+1=(n=1,2,…),证明:数列{xn}的极限存在,并求此极限。
admin
2018-04-14
85
问题
设0<x
1
<3,x
n+1
=
(n=1,2,…),证明:数列{x
n
}的极限存在,并求此极限。
选项
答案
由0<x
1
<3,知x
1
,3-x
1
均为正数,故 0<x
2
=[*]≤1/2(x
1
+3-x
1
)=3/2。 设0<x
k
≤3/2(k>1),则0<x
k+1
=[*]≤1/2(x
k
+3-x
k
)=3/2。 由数学归纳法知,对任意正整数n>1,均有0<x
n
≤3/2,因而数列{x
n
}有界。 又当n>1时, x
n+1
-x
n
[*] 因而有x
n+1
≥x
n
(n>1),即数列{x
n
}单调增加。 由单调有界数列必有极限,知[*]x
n
存在。 设[*]x
n
=a,在x
n+1
=[*]两边取极限,得a=[*],解得a=3/2,a=0(舍去)。 故[*]x
n
=3/2。
解析
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考研数学二
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