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设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)上有界．
设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)上有界．
admin
2016-10-20
44
问题
设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限
．证明：
(Ⅰ)设A＜B，则对
∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；
(Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)上有界．
选项
答案
利用极限的性质转化为有界区间的情形． (Ⅰ)由[*]=A＜μ及极限的不等式性质可知，[*]使得f(X
1
)＜μ． 由[*]使得f(X
2
)＞μ．因f(x)在[X
1
，X
2
]连续，f(X
1
)＜μ＜f(X
2
)，由连续函数介值定理知[*](-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因[*]，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]，使得当x∈(-∞，X
1
)时f(x)有界；[*](＞X
1
)，使得当x∈(X
2
，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理即可知，f(x)在[X
1
，X
2
]上有界．因此f(x)在(-∞，+∞)上有界．
解析
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考研数学三
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1
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