设幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan(x一1)n+1的收敛区间为________．

admin2020-07-02 145

问题设幂级数

a_nxⁿ的收敛半径为3，则幂级数

na_n(x一1)ⁿ⁺¹的收敛区间为________．

选项

答案一2＜x＜4

解析已知幂级数

a_nxⁿ的收敛半径为3，化幂级数含其系数a_n为因子系数，其他因子可为n的幂函数，且与该幂级数的收敛中心及n的起始值无关，符合上述条件的新的幂级数的收敛半径相同．例如级数

na_n(x一1)^n一k的收敛半径都是相同的，但不能确定这些幂级数在收敛区间端点处的敛散性．
利用上述结论即得新级数的收敛半径，因而可写出其收敛区间．
由上述分析易知，幂级数

na_n(x一1)ⁿ⁺¹的收敛半径也为3，因而得到|x一1|＜3，即一2＜x＜4为所求的收敛区间，但不能判定其在x=一2及x=4处的敛散性．

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