设函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足f(0，0)=1，fx’(0，0)=2，fy’(0，y)=一3以及fxx"(x，y)=y，fxy"(x，y)=x+y，求f(x，y)的表达式．

admin2016-01-11 46

问题设函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足f(0，0)=1，f_x’(0，0)=2，f_y’(0，y)=一3以及f_xx"(x，y)=y，f_xy"(x，y)=x+y，求f(x，y)的表达式．

选项

答案将f_xx"(x，y)=y对变量x求不定积分，得f_x’(x，y)=∫ydx+C₁(y)=xy+C₁(y)．同样将f_xy"(x，y)=x+y对变量y求不定积分，得f_x’(x，y)=∫(x+y)dx=xy+[*] 比较两个表达式，得[*] 由于f_x’(0，0)=2，故C=2．即f_x’(x，y)=[*] 将f_y’(x，y)=[*]两边对x求不定积分，得 [*] 由于f_y’(0，y)=-3，得C₂’(y)=一3．故C₂(y)=一3y+C₃，于是 [*] 再由f(0，0)=1的C₃=1，所以f(x，y)=[*]

解析

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