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[2006年] 证明当0＜a＜b＜π时bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa．

admin2019-03-30  49
问题 [2006年]  证明当0＜a＜b＜π时bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa．
选项
答案证一 将待证的不等式中的b换成x．引入辅助函数F(x)=xsinx+2cosx+πx，x∈[0，π]，利用函数的单调性证之．因F’(x)=xcosx－sinx+π，F’(π)=0，且 F"(x)=cosx-xsinx－cosx=-xsinx＜0， x∈(0，π)， 于是F’(x)在[0，π]上单调减少，因而有 F’(x)＞F’(π)=0， ．x∈(0，π)． 即F(x)在(0，π)内单调增加，从而当0＜a＜b＜π时，有 F(b)＞F(a)， 即 bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa． 证二 设φ(x)=xsinx+2cosx，x∈[0，π]，对φ(x)在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得到φ(b)－φ(a)=φ’(ξ)(b－a)，ξ∈(a，b)[*](0，π)，即 bsinb+2cosb－asina－2cosa=(ξcosξ－sinξ)(b－a)． ① 设g(x)=xcosx－sinx，x∈[0，π]，则 g’(x)=cosx－xsinx－cosx=－xsinx＜0， x∈(0，π)． 因而g(x)在[0，π]上单调减少，故ξcosξ－sinξ＞g(π)=－π． 由式①得到 bsinb+2cosb-asina－2cosa>－π(b－a)， 移项得到 bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．
解析
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考研数学三

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