(1)设A是n阶正定矩阵，证明存在n阶正定矩阵B，使得A=B2 (2)设A=求3阶矩阵B，使得A=B2

admin2022-06-22 9

问题 (1)设A是n阶正定矩阵，证明存在n阶正定矩阵B，使得A=B²
(2)设A=

求3阶矩阵B，使得A=B²

选项

答案(1)A是n阶正定矩阵[*]A的全部特征值大于零，设为λ_i>0，i=1，2，…，n。因A是正定矩阵，则A是实对称矩阵。故存在可逆矩阵P，使得 [*] 其中λ_i>0，i=1，2，…n。则 [*] (2)由(1)知，求出A的特征值及其所对应的特征向量即可得到矩阵B。由 [*] 得A有特征值λ₁=1，λ₂=3，λ₃=4。 [*] 当λ₂=3时，解(3E-A)x=[*] 当λ₃=4时，解(4E-A)x= [*]

解析

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考研数学一

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