已知曲面方程为x2+y2+z2—2x+8y+6z=10，则过点（5，—2，1）的切平面方程为( )。

admin2018-06-07 7

问题已知曲面方程为x²+y²+z²—2x+8y+6z=10，则过点（5，—2，1）的切平面方程为( )。

选项 A、2x+y+2z=0
B、2x+y+2z=10
C、x—2y+6z=15
D、x—2y+6z=0

答案B

解析方法一：设球面方程为x²+y²+z²+2px+2qy+2rz+d=0，则过球面上点(x₀，y₀，z₀)的切平面方程为
x₀x+y₀y+z₀z+p(x+x₀)+q(y+y₀)+r(z+z₀)+d=0．
由曲面方程为x²+y²+z²—2x+8y+6z=10可知p=—1，q=4，r=3，d=—10，则过点（5，—2，1）（点在球面上）的切平面为
5x—2y+z—(x+5)+4(y—2)+3(z+1)—10=0
整理得2x+y+2z=10。
方法二：曲面x²+y²+z²—2x+8y+6z=10为球面，标准方程为
（x一1）²+(y+4)²+(z+3)²=36。
球心为（1，—4，—3），半径为6。由A，B，C，D四个选项中，只有B、C过点（5，—2，1）。故A，D排除，同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项B，球心到平面的距离为