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设f(x)为可导的奇函数,且∫01f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(-1,1),使得∫0ξf(x)dx=f′(ξ).
设f(x)为可导的奇函数,且∫01f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(-1,1),使得∫0ξf(x)dx=f′(ξ).
admin
2022-12-09
19
问题
设f(x)为可导的奇函数,且∫
0
1
f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(-1,1),使得∫
0
ξ
f(x)dx=f′(ξ).
选项
答案
因为f(x)为奇函数,所以∫
0
x
f(t)dt为偶函数, 由∫
0
1
f(x)dx=0得∫
0
-1
f(x)dx=0, 令h(x)=e
x
∫
0
x
f(t)dt,显然h(-1)=h(0)=h(1)=0, 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(-1,0),ξ
2
∈(0,1),使得h′(ξ
1
)=h′(ξ
2
)=0, 而h′(x)=e
x
[∫
0
x
f(t)dt+f(x)]且e
x
≠0, 再令φ(x)=e
-x
[∫
0
x
f(t)dt+f(x)],则φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](-1,1),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(x)=e
-x
[f′(x)-∫
0
x
f(t)dt]且e
-x
≠0, 故f′(ξ)-∫
0
ξ
f(t)dt=0,即∫
0
ξ
f(x)dx=f′(ξ).
解析
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0
考研数学三
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