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  3. 设f(x)为可导的奇函数，且∫01f(x)dx=0，证明：存在ξ∈(-1，1)，使得∫0ξf(x)dx=f′(ξ)．

设f(x)为可导的奇函数，且∫01f(x)dx=0，证明：存在ξ∈(-1，1)，使得∫0ξf(x)dx=f′(ξ)．

admin2022-12-09  25
问题 设f(x)为可导的奇函数，且∫01f(x)dx=0，证明：存在ξ∈(-1，1)，使得∫0ξf(x)dx=f′(ξ)．
选项
答案因为f(x)为奇函数，所以∫0xf(t)dt为偶函数， 由∫01f(x)dx=0得∫0-1f(x)dx=0， 令h(x)=ex∫0xf(t)dt，显然h(-1)=h(0)=h(1)=0， 由罗尔定理，存在ξ1∈(-1，0)，ξ2∈(0，1)，使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0， 而h′(x)=ex[∫0xf(t)dt+f(x)]且ex≠0， 再令φ(x)=e-x[∫0xf(t)dt+f(x)]，则φ(ξ1)=φ(ξ2)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](-1，1)，使得φ′(ξ)=0， 而φ′(x)=e-x[f′(x)-∫0xf(t)dt]且e-x≠0， 故f′(ξ)-∫0ξf(t)dt=0，即∫0ξf(x)dx=f′(ξ).
解析
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考研数学三

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