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已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且对任意x有f(x)=f(x2),f(1)=a,试求f(x).
已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且对任意x有f(x)=f(x2),f(1)=a,试求f(x).
admin
2022-06-04
66
问题
已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且对任意x有f(x)=f(x
2
),f(1)=a,试求f(x).
选项
答案
由f(-x)=f[(-x)
2
]=f(x
2
)=f(x)可知f(x)为偶函数,因此只需考虑x≥0. 设x>0,于是f(x)=f(x
1/2
)=f(x
1/4
)=…=f(x
1/2n
),f(x)在(-∞,+∞)内连续,有 [*] 故x>0时,有f(x)=a.又由f(x)的连续性,则 [*] 再由偶函数的性质知,f(x)=a,x∈(-∞,+∞).
解析
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考研数学二
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